高等代数(第五版)-整理讲义

王萼芳, 石生明 (高等教育出版社) · 更新于 2026/7/3

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本讲义根据高等代数(第五版)-王萼芳, 石生明-高等教育出版社整理排版.

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1 多项式

1.1 数域

多项式是代数学中最基本的研究对象之一, 它不但与高次方程的讨论有关, 而且在进一步学习代数以及其它数学分支时也都会碰到. 本章就来介绍一些有关多项式的基本知识. 在中学代数中我们学过多项式, 现在的讨论可以认为是中学所学知识的加深, 并且推广到更一般的情况.

我们知道, 数是数学的一个最基本的概念. 我们的讨论就从这里开始. 在历史上, 数的概念经历了一个长期发展的过程, 大体上看, 是由正整数到整数, 有理数, 然后是实数, 再到复数. 这个过程反映了人们对客观世界的认识的不断深入. 中学数学的学习也基本上反映了这样一个发展过程. 回想一下, 中学数学中数的含义在不同的阶段实际上是不同的, 只是没有明确指出而已.

按照所研究的问题, 我们常常需要明确规定多考虑的数的范围. 譬如说, 在解决一个实际问题中列出了一个二次方程, 这个方程有没有解就与未知量所代表的对象有关, 也就是与未知量所允许的取值范围有关. 又如, 任意两个整数的商不一定是整数, 这就是说, 限制在整数的范围内, 除法不是普遍可以做的, 而在有理数范围内, 只要除数不为零, 除法总是可以做的. ^[1]因此, 在数的不同范围内同一个问题的回答可能是不同的. 我们经常会遇到的数的范围有全体有理数, 全体实数以及全体负数, 它们显然具有一些不同的性质. ^[2]当然, 他们也有很多共同的性质, 在代数中经常是将有共同性质的对象统一进行讨论. 关于数的加, 减, 乘, 除等运算的性质通常称为数的代数性质. 代数所研究的问题主要涉及数的代数性质, 这方面的大部分性质是有理数, 实数, 复数的全体所共有的. 有时我们还会碰到一些其它的数的集合, 简称数集. 有些数集也具有与有理数, 实数, 复数的全体所共有的代数性质. 为了在讨论中能够把它们统一起来, 我们引入一个一般的概念.

定义 1.1 (数域. )

设 $P$ 是由一些复数组成的集合, 其中包括 $0$ 和 $1$ . 如果 $P$ 中任意两个数(这两个数也可以相同)的和, 差, 积, 商(除数不为 $0$ )仍然是 $P$ 中的数, 那么 $P$ 就称为一个数域. ^[3]

显然, 全体有理数组成的集合, 全体实数组成的集合, 全体复数组成的集合都是数域. 这三个数域我们分别用字母 $\mathbb{Q}$ , $\mathbb{C}$ , $\mathbb{R}$ 来代表. 全体整数组成的集合就不是数域, 因为不是任意两个整数的商都是整数.

如果数的集合 $P$ 中任意两个数做某一运算的结果仍在 $P$ 中, 我们就说数集 $P$ 对这个运算是封闭的. 因此, 数域的定义也可以说成, 如果一个包含 $0$ , $1$ 在内的数集 $P$ 对于加法, 减法, 乘法与除法(除数不为 $0$ )是封闭的, 那么 $P$ 就称为一个数域.

下面来举一些例子.

例 1.1

所有具有形式

a + b \sqrt{2}

的数(其中 $a$ , $b$ 是任何有理数)构成一个数域. 通常用 $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ 来表示这个数域. 显然, 数集 $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ 包含 $0$ 与 $1$ , 并且它对于加, 减法是封闭的. 现在证明它对乘, 除法也是封闭的. 我们知道

(a + b\sqrt{2})(c + d\sqrt{2})=(ac+2bd)+(ad+bc)\sqrt{2}

因为 $a$ , $b$ , $c$ , $d$ 都是有理数, 所以 $ac+2bd$ , $ad+bc$ 也是有理数. 这就说明乘积 $(a + b\sqrt{2})(c + d\sqrt{2})$ 还在 $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ 内, 所以 $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ 对于乘法是封闭的. 设 $a+b\sqrt{2}\neq0$ , 于是 $a-b\sqrt{2}\neq0$ (为什么?^[4]), 而

\frac{c+d\sqrt{2}}{a+b\sqrt{2}}=\frac{(c+d\sqrt{2})(a-b\sqrt{2})}{(a+b\sqrt{2})(a-b\sqrt{2})}=\frac{ac-2bd}{a^2-2b^2}+\frac{ad-bc}{a^2-2b^2}\sqrt{2}

因为 $a$ , $b$ , $c$ , $d$ 是有理数, 所以 $a^2-2b^2$ 是非零有理数, $\frac{ac-2bd}{a^2-2b^2}$ , $\frac{ad-bc}{a^2-2b^2}$ 也是有理数. 这就证明了 $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ 对于除法的封闭性.

例 1.2

所有可以表成形式

\frac{a_0+a_1\pi+\dots+a_n\pi^n}{b_0+b_1\pi+\dots+b_m\pi^m}

的数组成一数域, 其中 $n$ , $m$ 为任意非负整数, $a_i, b_j(i=0, \dots, n; j=0, \dots, m)$ 是整数. 验证留给读者去做.

例 1.3

所有奇数组成的数集, 对于乘法是封闭的, 但对于加, 减法不是封闭的. $\sqrt{2}$ 的整倍数的全体组成一数集, 它对于加, 减法是封闭的, 但对于乘, 除法不封闭. 当然, 以上这两个数集都不是数域.

最后, 我们指出数域的一个重要性质. 所有的数域都包含有理数域作为它的一部分. 事实上, 设 $P$ 是一个数集, 由定义, $P$ 含有 $1$ . 根据 $P$ 对于加法的封闭性, $1+1=2, 2+1=3, \dots, n+1=(n+1), \dots$ 全在 $P$ 中, 换句话说, $P$ 包含全体正整数. 又因 $0$ 在 $P$ 中, 再由 $P$ 对减法的封闭性, $0-n=-n$ 也在 $P$ 中, 因而 $P$ 包含全体整数. 任何一个有理数都可以表成两个整数的商, 由 $P$ 对除法的封闭性即得上述结论.

1.2 一元多项式

在对多项式的讨论中, 我们总是以一个预先给定的数域 $P$ 作为基础. 设 $x$ 是一个符号(或称文字), 我们有

定义 1.2 (一元多项式. )

设 $n$ 是一非负整数. 形式表达式

a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_0,

(1)

其中 $a_0, a_1, etc, a_n$ 全属于数域 $P$ , 称为系数在数域 $P$ 中的一个一元多项式, 或者简称为数域 $P$ 上的一元多项式.

在多项式1中, $a_kx^k$ 被称为 $k$ 次项, $a_k$ 称为 $k$ 次项的系数. 以后我们用 $f(x), g(x), \dots$ 或 $f, g, \dots$ 来代表多项式.

注意, 我们这儿定义的多项式是符号或文字的形式表达式. 当这符号是未知数时, 它是中学所学代数中的多项式. 看应用需要, 这个符号还可代表其它待定事物. 为了能统一研究未知数和其它待定事物的多项式, 我们才抽象地定义上述形式表达式. 并且还要对它们引入运算来反映各个待定事物所满足的运算规律, 统一研究以得到它们普遍的公共的性质.

整理者注

这里强调"形式表达式"是很关键的. $x$ 在此仅仅是一个符号(文字), 不代表任何具体的数值. 这不同于中学里将多项式视为函数 $f(x)$ 的做法. 将 $x$ 看作形式符号, 而非变量, 是代数学走向抽象的重要一步.

这种"形式化"的思想在后来的代数学发展中随处可见. 例如在以后的章节中会讲到的多项式环、形式幂级数，乃至自由群等概念, 都是先定义出由符号生成的形式表达式, 再赋予运算结构. 可以说, 从"具体函数"到"形式表达式"的视角转变, 正是从中学数学到高等代数的关键跃迁之一.

定义 1.3 (相等. 零多项式. )

如果在多项式 $f(x)$ 和 $g(x)$ 中, 除去系数为零的项外, 同次项的系数全相等, 那么 $f(x)$ 和 $g(x)$ 就称为相等, 记为

f(x)=g(x)

系数全为零的多项式称为零多项式, 记为 $0$ .

在1中, 如果 $a_n\neq0$ , 那么 $a_nx^n$ 称为多项式1的首项, $a_n$ 称为首项系数, $n$ 称为多项式1的次数. 零多项式是唯一不定义次数的多项式^[5]. 多项式 $f(x)$ 的次数记为

\partial{(f(x))}

^[6]

在中学所讲的代数中, 两个对象是可以相加, 相减, 相乘. 例如,

[整理者注] 这里实际上涉及到了运算的封闭性的概念. 本书中后续有阐述.
[整理者注] 例如有理数对四则运算封闭, 而整数对除法不封闭; 再如 $x^2+1=0$ 在实数范围内无解, 在复数范围内有解.
[整理者注] 原书此处定义所有文字均有下加点强调. 为整理方便, 此处及后续不再以此种方式强调.
[整理者注] $a+b\sqrt{2}=0$ 要求 $a$ , $b$ 同时为 $0$ .
[整理者注] 事实上, 零多项式的次数亦可赋予定义, 取决于需要使用时如何处理方便. 常用的可以定义为 $\infty, -\infty, -1$ 等.
因为零多项式不定义次数, 所以在用符号 $\partial{(f(x))}$ 时, 总是假定 $f(x)\neq0$ . 以后就不一一说明了.

ハナアサギの

花園。

高等代数(第五版)-整理讲义

1 多项式

1.1 数域

1.2 一元多项式