多项式

高等代数(第五版)-整理讲义 · 第 1 章 · 更新于 2026/7/12

1 多项式

1.1 数域

多项式是代数学中最基本的研究对象之一, 它不但与高次方程的讨论有关, 而且在进一步学习代数以及其它数学分支时也都会碰到. 本章就来介绍一些有关多项式的基本知识. 在中学代数中我们学过多项式, 现在的讨论可以认为是中学所学知识的加深, 并且推广到更一般的情况.

我们知道, 数是数学的一个最基本的概念. 我们的讨论就从这里开始. 在历史上, 数的概念经历了一个长期发展的过程, 大体上看, 是由正整数到整数, 有理数, 然后是实数, 再到复数. 这个过程反映了人们对客观世界的认识的不断深入. 中学数学的学习也基本上反映了这样一个发展过程. 回想一下, 中学数学中数的含义在不同的阶段实际上是不同的, 只是没有明确指出而已.

按照所研究的问题, 我们常常需要明确规定多考虑的数的范围. 譬如说, 在解决一个实际问题中列出了一个二次方程, 这个方程有没有解就与未知量所代表的对象有关, 也就是与未知量所允许的取值范围有关. 又如, 任意两个整数的商不一定是整数, 这就是说, 限制在整数的范围内, 除法不是普遍可以做的, 而在有理数范围内, 只要除数不为零, 除法总是可以做的. ^[1]因此, 在数的不同范围内同一个问题的回答可能是不同的. 我们经常会遇到的数的范围有全体有理数, 全体实数以及全体负数, 它们显然具有一些不同的性质. ^[2]当然, 他们也有很多共同的性质, 在代数中经常是将有共同性质的对象统一进行讨论. 关于数的加, 减, 乘, 除等运算的性质通常称为数的代数性质. 代数所研究的问题主要涉及数的代数性质, 这方面的大部分性质是有理数, 实数, 复数的全体所共有的. 有时我们还会碰到一些其它的数的集合, 简称数集. 有些数集也具有与有理数, 实数, 复数的全体所共有的代数性质. 为了在讨论中能够把它们统一起来, 我们引入一个一般的概念.

定义 1.1

设 $P$ 是由一些复数组成的集合, 其中包括 $0$ 和 $1$ . 如果 $P$ 中任意两个数(这两个数也可以相同)的和, 差, 积, 商(除数不为 $0$ )仍然是 $P$ 中的数, 那么 $P$ 就称为一个数域. ^[3]

显然, 全体有理数组成的集合, 全体实数组成的集合, 全体复数组成的集合都是数域. 这三个数域我们分别用字母 $\mathbb{Q}$ , $\mathbb{C}$ , $\mathbb{R}$ 来代表. 全体整数组成的集合就不是数域, 因为不是任意两个整数的商都是整数.

如果数的集合 $P$ 中任意两个数做某一运算的结果仍在 $P$ 中, 我们就说数集 $P$ 对这个运算是封闭的. 因此, 数域的定义也可以说成, 如果一个包含 $0$ , $1$ 在内的数集 $P$ 对于加法, 减法, 乘法与除法(除数不为 $0$ )是封闭的, 那么 $P$ 就称为一个数域.

下面来举一些例子.

例 1.1

所有具有形式

a + b \sqrt{2}

的数(其中 $a$ , $b$ 是任何有理数)构成一个数域. 通常用 $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ 来表示这个数域. 显然, 数集 $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ 包含 $0$ 与 $1$ , 并且它对于加, 减法是封闭的. 现在证明它对乘, 除法也是封闭的. 我们知道

(a + b\sqrt{2})(c + d\sqrt{2})=(ac+2bd)+(ad+bc)\sqrt{2}.

因为 $a$ , $b$ , $c$ , $d$ 都是有理数, 所以 $ac+2bd$ , $ad+bc$ 也是有理数. 这就说明乘积 $(a + b\sqrt{2})(c + d\sqrt{2})$ 还在 $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ 内, 所以 $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ 对于乘法是封闭的. 设 $a+b\sqrt{2}\neq0$ , 于是 $a-b\sqrt{2}\neq0$ (为什么?^[4]), 而

\frac{c+d\sqrt{2}}{a+b\sqrt{2}}=\frac{(c+d\sqrt{2})(a-b\sqrt{2})}{(a+b\sqrt{2})(a-b\sqrt{2})}=\frac{ac-2bd}{a^2-2b^2}+\frac{ad-bc}{a^2-2b^2}\sqrt{2},

因为 $a$ , $b$ , $c$ , $d$ 是有理数, 所以 $a^2-2b^2$ 是非零有理数, $\frac{ac-2bd}{a^2-2b^2}$ , $\frac{ad-bc}{a^2-2b^2}$ 也是有理数. 这就证明了 $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ 对于除法的封闭性.

例 1.2

所有可以表成形式

\frac{a_0+a_1\pi+\dots+a_n\pi^n}{b_0+b_1\pi+\dots+b_m\pi^m}

的数组成一数域, 其中 $n$ , $m$ 为任意非负整数, $a_i, b_j(i=0, \dots, n; j=0, \dots, m)$ 是整数. 验证留给读者去做.

例 1.3

所有奇数组成的数集, 对于乘法是封闭的, 但对于加, 减法不是封闭的. $\sqrt{2}$ 的整倍数的全体组成一数集, 它对于加, 减法是封闭的, 但对于乘, 除法不封闭. 当然, 以上这两个数集都不是数域.

最后, 我们指出数域的一个重要性质. 所有的数域都包含有理数域作为它的一部分. 事实上, 设 $P$ 是一个数集, 由定义, $P$ 含有 $1$ . 根据 $P$ 对于加法的封闭性, $1+1=2, 2+1=3, \dots, n+1=(n+1), \dots$ 全在 $P$ 中, 换句话说, $P$ 包含全体正整数. 又因 $0$ 在 $P$ 中, 再由 $P$ 对减法的封闭性, $0-n=-n$ 也在 $P$ 中, 因而 $P$ 包含全体整数. 任何一个有理数都可以表成两个整数的商, 由 $P$ 对除法的封闭性即得上述结论.

1.2 一元多项式

在对多项式的讨论中, 我们总是以一个预先给定的数域 $P$ 作为基础. 设 $x$ 是一个符号(或称文字), 我们有

定义 1.2

设 $n$ 是一非负整数. 形式表达式

a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_0,

(1)

其中 $a_0, a_1, \dots, a_n$ 全属于数域 $P$ , 称为系数在数域 $P$ 中的一个一元多项式, 或者简称为数域 $P$ 上的一元多项式.

在多项式1中, $a_kx^k$ 被称为 $k$ 次项, $a_k$ 称为 $k$ 次项的系数. 以后我们用 $f(x), g(x), \dots$ 或 $f, g, \dots$ 来代表多项式.

注意, 我们这儿定义的多项式是符号或文字的形式表达式. 当这符号是未知数时, 它是中学所学代数中的多项式. 看应用需要, 这个符号还可代表其它待定事物. 为了能统一研究未知数和其它待定事物的多项式, 我们才抽象地定义上述形式表达式. 并且还要对它们引入运算来反映各个待定事物所满足的运算规律, 统一研究以得到它们普遍的公共的性质.

整理者注

这里强调"形式表达式"是很关键的. $x$ 在此仅仅是一个符号(文字), 不代表任何具体的数值. 这不同于中学里将多项式视为函数 $f(x)$ 的做法. 将 $x$ 看作形式符号, 而非变量, 是代数学走向抽象的重要一步.

这种"形式化"的思想在后来的代数学发展中随处可见. 例如在以后的章节中会讲到的多项式环、形式幂级数，乃至自由群等概念, 都是先定义出由符号生成的形式表达式, 再赋予运算结构. 可以说, 从"具体函数"到"形式表达式"的视角转变, 正是从中学数学到高等代数的关键跃迁之一.

定义 1.3

如果在多项式 $f(x)$ 和 $g(x)$ 中, 除去系数为零的项外, 同次项的系数全相等, 那么 $f(x)$ 和 $g(x)$ 就称为相等, 记为

f(x)=g(x).

系数全为零的多项式称为零多项式, 记为 $0$ .

在1中, 如果 $a_n\neq0$ , 那么 $a_nx^n$ 称为多项式1的首项, $a_n$ 称为首项系数, $n$ 称为多项式1的次数. 零多项式是唯一不定义次数的多项式^[5]. 多项式 $f(x)$ 的次数记为

\partial{(f(x))}

^[6]

在中学所讲的代数中, 两个多项式可以相加, 相减, 相乘. 例如,

(2x^2-1)+(x^3-2x^2+x+2)=x^3+x+1,

\begin{align*} (2x^2-1)(x^2-x+1)&=2x^4-2x^3+2x^2-x^2+x-1\\ &=2x^4-2x^3+x^2+x-1. \end{align*}

我们对形式表达式1, 可类似地引入这些运算, 为便于计算和讨论, 我们常常用和号^[7]来表达多项式.

设

f(x)=a_xx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_0, g(x)=b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+\dots+b_0

是数域 $P$ 上两个多项式. 那么可以写成

f(x)=\sum_{i=0}^na_ix^i, g(x)=\sum_{j=0}^mb_jx^j.

在表示多项式 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的和时, 如果 $n\geq m$ , 为了方便起见, 在 $g(x)$ 中令 $b_n=b_{n-1}=\dots=b_{m+1}=0$ . 那么 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的和为

f(x)+g(x)=(a_n+b_n)x^{n+m}+(a_{n-1}+b_{n-1})x^{n-1}+\dots+(a_1+b_1)x+(a_0+b_0)=\sum_{i=0}^n(a_i+b_i)x^i.

而 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的乘积为

f(x)g(x)=a_nb_mx^{n+m}+(a_nb_{m-1}+a_{n-1}b_m)x^{n+m-1}+\dots+(a_1b_0+a_0b_1)x+a_0b_0,

其中 $s$ 次项的系数是

a_sb_0+a_{s-1}b_1+\dots+a_1b_{s-1}+a_0b_s=\sum_{i+j=s}a_ib_j.

所以 $f(x)g(x)$ 可表成

f(x)g(x)=\sum_{s=0}^{m+n}(\sum_{i+j=s}a_ib_j)x^s.

整理者注

思考: 此处 $s$ 次项的系数 $\sum_{i+j=s}a_ib_j$ 是否可以被等价地表成 $\sum_{i=0}^sa_ib_{s-i}$ ?

事实上是可以的. 因为遍历条件 $i+j=s$ 与 $j=s-i$ 是等价的. 在此处, 将双重指标求和改写为单一指标求和是直接的.

另外, 后者 $\sum_{i=0}^sa_ib_{s-i}$ 更为常见和显式, 在很多教材中也会用这种形式来定义卷积(Cauchy乘积)的系数.

显然, 数域 $P$ 上的两个多项式经过加, 减, 乘等运算后, 所得结果仍然是数域 $P$ 上的多项式.

对于多项式的加减法, 不难看出

\partial{(f(x)+g(x))}\leq \max(\partial{(f(x))}, \partial{(g(x))}).

^[8]

对于多项式的乘法, 可以证明, 如果 $f(x)\neq0, g(x)\neq0$ , 那么 $f(x)g(x)\neq0$ , 并且

\partial{(f(x)g(x))}=\partial{(f(x))}+\partial{(g(x))}.

事实上, 设

f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_0, g(x)=b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+\dots+b_0,

其中 $a_n\neq0, b_m\neq0$ , 于是 $f(x)g(x)$ 的首项是

a_Nb_mx^{n+m}.

显然 $a_nb_m\neq0$ , 因之, $f(x)g(x)\neq0$ 而且它的次数就是 $n+m$ .

由以上证明还看出, 多项式乘积的首项系数就等于它的因子首项系数的乘积.

显然, 上面得出的结果都可以推广到多个多项式的情形.

和数的运算一样, 多项式的运算也满足下面的一些规律:

1. 加法交换律

f(x)+g(x)=g(x)+f(x).

2. 加法结合律

(f(x)+g(x))+h(x)=f(x)+(g(x)+h(x)).

3. 乘法交换律

f(x)g(x)=g(x)f(x).

4. 乘法结合律

(f(x)g(x))h(x)=f(x)(g(x)h(x)).

5.乘法对加法的分配律

f(x)(g(x)+h(x))=f(x)g(x)+f(x)h(x).

这些规律都很容易证明. 下面只给出乘法结合律的证明.

设

f(x)=\sum_{i=0}^na_ix^i, g(x)=\sum_{j=0}^mb_jx^j, h(x)=\sum_{k=0}^lc_kx^k.

现在来证

(f(x)g(x))h(x)=f(x)(g(x)h(x)).

等式左边, $f(x)g(x)$ 中 $s$ 次项的系数为

\sum_{i+j=s}a_ib_j,

因此左边 $t$ 次项的系数为

\sum_{s+k=t}(\sum_{i+j=s}a_ib_j)c_k=\sum_{i+j+k=t}a_ib_jc_k.

在右边, $g(x)h(x)$ 中 $r$ 次项的系数为

\sum_{j+k=r}b_jc_k.

因此右边 $t$ 次项的系数为

\sum_{i+r=t}a_i(\sum_{j+k=r}b_jc_k)=\sum_{i+j+k=t}a_ib_jc_k.

与左边 $t$ 次项的系数一样, 所以左, 右两边相等, 这就证明了乘法满足结合律.

对于多项式的乘法, 我们还可以证明

6. 乘法消去律

如果 $f(x)g(x)=f(x)h(x)$ 且 $f(x)\neq0$ , 那么

g(x)=h(x).

因为

f(x)g(x)=f(x)h(x),

有

f(x)(g(x)-h(x))=0,

而 $f(x)\neq0$ , 所以 $g(x)-h(x)=0$ , 也就是

g(x)=h(x).

最后我们引入

定义 1.4

所有系数在数域 $P$ 中的一元多项式的全体, 称为数域 $P$ 上的一元多项式环, 记为 $P[x]$ , $P$ 称为 $P[x]$ 的系数域.

1.3 整除的概念

这一节以及后面各节的讨论都是在某一个固定的数域 $P$ 上的多项式环 $P[x]$ 中进行的, 以后就不每次重复说明了.

在一元多项式环中, 可以做加, 减, 乘三种运算, 但是乘法的逆运算–除法并不是普遍可以做的. 因之整除就成了两个多项式之间的一种特殊的关系.

和中学中所学代数一样, 作为形式表达式, 也能用一个多项式去除另一个多项式, 求得商和余式. 例如, 设

f(x)=3x^3+4x^2-5x+6, g(x)=x^2-3x+1.

我们用 $g(x)$ 去除 $f(x)$ , 可以按照下面的格式来做除法:

$x^2-3x+1$	$3x^3$	$+$	$4x^2$	$-$	$5x$	$+$	$6$	$3x+13$
	$3x^3$	$-$	$9x^2$	$+$	$3x$
			$13x^2$	$-$	$8x$	$+$	$6$
			$13x^2$	$-$	$39x$	$+$	$13$
					$31x$	$-$	$7$

于是求得商为 $3x+13$ , 余式为 $31x-7$ . 所得结果可以写成

3x^3+4x^2-5x+6=(3x+13)(x^2-3x+1)+(31x-7).

这个求法实际上具有一般性. 下面就按这个想法来证明一元多项式环的一个基本性质.

性质

对于 $P[x]$ 中任意两个多项式 $f(x)$ 与 $g(x)$ , 其中 $g(x)\neq0$ , 一定有 $P[x]$ 中的多项式 $q(x), r(x)$ 存在, 使

f(x)=q(x)g(x)+r(x)

(1)

成立, 其中 $\partial{(r(x))}<\partial{(g(x))}$ 或者 $r(x)=0$ , 并且这样的 $q(x), r(x)$ 是唯一决定的.

证明

1中 $q(x)$ 和 $r(x)$ 的存在性可以由上面所说的除法直接得出. 我们用归纳法的语言来叙述.

如果 $f(x)=0$ , 取 $q(x)=r(x)=0$ 即可.

以下设 $f(x)\neq0$ . 令 $f(x), g(x)$ 的次数分别为 $n, m$ . 对 $f(x)$ 的次数 $n$ 作(第二)数学归纳法. 假设当任何 $f(x)$ 的次数小于 $n$ 时, $q(x), r(x)$ 的存在已证. 现来看次数为 $n$ 的情形.

当 $n\leq m$ 时, 显然取 $q(x)=0, r(x)=f(x)$ , 1式成立.

下面讨论 $n<m$ 的情形. 令 $ax^n, bx^m$ 分别是 $f(x), g(x)$ 的首项, 因而多项式

f_1(x)=f(x)-b^{-1}ax^{n-m}g(x)

的次数小于 $n$ 或为零多项式. 对于后者, 取 $q(x)=b^{-1}ax^{n-m}, r(x)=0$ ; 对于前者, 由归纳假设, 对 $f_1(x), g(x)$ 有 $q_1(x), r_1(x)$ 存在使

f_1(x)=q_1(x)g(x)+r_1(x),

其中 $\partial{(r_1(x))}<\partial{(g(x))}$ 或者 $r_1(x)=0$ . 于是

f(x)=(q_1(x)+b^{-1}ax^{n-m})g(x)+r_1(x),

也就是说, 有 $q(x)=q_1(x)+b^{-1}ax^{n-m}, r(x)=r_1(x)$ 使

f(x)=q(x)g(x)+r(x)

成立. 由归纳法原理, 对任意的 $f(x), g(x)\neq0$ , $q(x), r(x)$ 的存在性就证明了.

下面来证唯一性. 设另有多项式 $q'(x), r'(x)$ 使

f(x)=q'(x)g(x)+r'(x),

其中 $\partial{(r'(x))}<\partial{(g(x))}$ 或者 $r'(x)=0$ . 于是

q(x)g(x)+r(x)=q'(x)g(x)+r'(x)

即

(q(x)-q'(x))g(x)=r'(x)-r(x).

如果 $q(x)\neq q'(x)$ , 又据假设 $g(x)\neq0$ , 那么 $r'(x)-r(x)=0$ , 且有

\partial{(q(x)-q'(x))}+\partial{(g(x))}=\partial{(r'(x)-r(x))}.

但是

\partial{(g(x))}>\partial{(r'(x)-r(x))},

所以上式不可能成立. 这就证明了 $q(x)=q'(x)$ , 因此 $r(x)=r'(x)$ . $\blacksquare$

带余除法中所得的 $q(x)$ 通常称为 $g(x)$ 除 $f(x)$ 的商式, $r(x)$ 称为 $g(x)$ 除 $f(x)$ 的余式, 简称商及余.

定义 1.5

称数域 $P$ 上的多项式 $g(x)$ 整除 $f(x)$ , 如果有数域 $P$ 上的多项式 $h(x)$ 使等式

f(x)=g(x)h(x)

成立. 我们用" $g(x)\mid f(x)$ "表示 $g(x)$ 整除 $f(x)$ , 用" $g(x)\nmid f(x)$ "表示 $g(x)$ 不能整除 $f(x)$ .

当 $g(x)\mid f(x)$ 时, $g(x)$ 就称为 $f(x)$ 的因式, $f(x)$ 称为 $g(x)$ 的倍式.

当 $g(x)\neq0$ 时, 带余除法给出了整除性的一个判别法.

定理 1.1

对于数域 $P$ 上的任意两个多项式 $f(x), g(x)$ , 其中 $g(x)\neq0$ , $g(x)\mid f(x)$ 的充分必要条件是 $g(x)$ 除 $f(x)$ 的余式为零.

证明

如果 $r(x)=0$ , 那么 $f(x)=q(x)g(x)$ , 即 $g(x)\mid f(x)$ .

反过来, 如果 $g(x)\mid f(x)$ , 那么

f(x)=q(x)g(x)=q(x)g(x)+0,

即 $r(x)=0$ . $\blacksquare$

带余除法中 $g(x)$ 必须不为零, 但 $g(x)\mid f(x)$ 中 $g(x)$ 可以为零. 这时 $f(x)=g(x)h(x)=0\cdot h(x)=0$ .

当 $g(x)\mid f(x)$ 时, 如 $g(x)\neq0$ , $g(x)$ 除 $f(x)$ 所得的商 $q(x)$ 有时也用

\frac{f(x)}{g(x)}

来表示.

由定义还可看出, 任一个多项式 $f(x)$ 一定整除它自身, 即 $f(x)\mid f(x)$ , 因为 $f(x)=1\cdot f(x)$ ; 任一个多项式 $f(x)$ 都整除零多项式 $0$ , 因为 $0=0\cdot f(x)$ ; 零次多项式, 也就是非零常数, 能整除任一个多项式, 因为当 $a\neq0$ 时, $f(x)=a(a^{-1}f(x))$ .

下面介绍整除性的几个常用的性质:

1. 如果 $f(x)\mid g(x)$ , $g(x)\mid f(x)$ , 那么 $f(x)=cg(x)$ , 其中 $c$ 为非零常数.

事实上, 由 $f(x)\mid g(x)$ 有 $g(x)=h_1(x)f(x)$ , 由 $g(x)\mid f(x)$ 有 $f(x)=h_2(x)g(x)$ . 于是

f(x)=h_1(x)h_2(x)f(x).

如果 $f(x)$ 为零, 那么 $g(x)$ 也为零, 结论显然成立. 如果 $f(x)\neq0$ , 那么消去 $f(x)$ 就有

h_1(x)h_2(x)=1,

从而 $\partial{(h_1(x))}+\partial{(h_2(x))}=0$ . 由此即得

\partial{(h_1(x))}=\partial{(h_2)(x)}=0.

这就是说 $h_2(x)$ 是一非零常数. $\blacksquare$

2. 如果 $f(x)\mid g(x)$ , $g(x)\mid h(x)$ , 那么 $f(x)\mid h(x)$ (整除的传递性). 显然, 由

g(x)=g_1(x)f(x), h(x)=h_1(x)g(x),

即得

h(x)=(h_1(x)g_1(x))f(x). \blacksquare

3. 如果 $f(x)\mid g_i(x), i=1, 2, \dots, r$ , 那么

f(x)\mid (u_1(x)g_1(x)+u_2(x)g_2(x)+\dots+u_r(x)g_r(x)),

其中 $u_i(x)$ 是数域 $P$ 上任意的多项式.

由 $g_i(x)=h_i(x)f(x), i=1, 2, \dots, r$ , 即得

\begin{align*} &u_1(x)g_1(x)+u_2(x)g_2(x)+\dots+u_r(x)g_r(x)\\ =&(u_1(x)h_1(x)+u_2(x)h_2(X)+\dots+u_r(x)h_r(x))f(x). \blacksquare \end{align*}

通常, $u_1(x)g_1(x)+u_2(x)g_2(x)+\dots+u_r(x)g_r(x)$ 称为多项式 $g_1(x), g_2(x), \dots, g_r(x)$ 的一个组合.

由以上的性质可以看出, 多项式 $f(x)$ 与它的任一个非零常数倍 $cf(x) (c\neq0)$ 有相同的因式, 也有相同的倍式. 因之, 在多项式整除性的讨论中, $f(x)$ 常常可以用 $cf(x)$ 来代替.

最后我们指出, 两个多项式之间的整除关系不因为系数域的扩大而改变. 也就是说, 如果 $f(x), g(x)$ 是 $P[x]$ 中两个多项式, $\bar{P}$ 是包含 $P$ 的一个较大的数域. 当然, $f(x), g(x)$ 也可以看成是 $\bar{P}[x]$ 中的多项式. 从带余除法可以看出, 无论把 $f(x), g(x)$ 看成是 $P[x]$ 中或者是 $\bar{P}[x]$ 中的多项式, 用 $g(x)$ 去除 $f(x)$ 所得的商式及余式都是一样的. 因此, 如果在 $P[x]$ 中 $g(x)$ 不能整除 $f(x)$ , 那么在 $\bar{P}[x]$ 中, $g(x)$ 也不能整除 $f(x)$ .

整理者注

思考: 缩小数域会否影响多项式的整除关系?

事实上是不影响的. 下面大致说明.

我们取数域 $P$ 和包含 $P$ 的数域 $\bar{P}$ . 取 $f(x), g(x)\in\bar{P}[x]$ . 讨论在 $P[x]$ 中 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的整除关系.

首先我们明确, 要考虑 $f(x), g(x)$ 的整除关系是否可遗传(在子空间中也生效), $f(x), g(x)\in P[x]$ 是必要的. 否则, $f(x)$ 与 $g(x)$ 其中之一甚至不在我们讨论的数域中, 更无所谓整除关系一说. 故某些地方用例子 $x^2+1=(x+i)(x-i), \mathbb{C}, \mathbb{R}$ 来说明缩小数域会影响整除关系是不正确的.

在此基础上, 由 $f(x)=h(x)g(x)+l(x)$ 知 $h(x), l(x)\in\bar{P}[x]$ : 要说明 $h(x), l(x)\in P[x]$ , 只需在 $P[x]$ 中做带余除法. 存在 $q(x), r(x)\in P[x]$ 使 $f(x)=q(x)g(x)+r(x)$ , 且 $\partial{(r(x))}<\partial{(g(x))}$ 或 $r(x)=0$ . 将该式视为 $\bar{P}[x]$ 中的等式, 则它与 $f(x)=h(x)g(x)+l(x)$ 在 $\bar{P}[x]$ 中同时成立. 由带余除法的唯一性得 $q(x)=h(x)$ , $r(x)=l(x)$ . 因 $q(x)\in P[x]$ , 故 $h(x), l(x)\in P[x]$ . 在 $P[x]$ 中唯一性容易证明.

由前述定理1.1知两多项式的带余除法式唯一确定其的整除关系, 故显然在 $P[x]$ 上, $f(x), g(x)$ 的关系仍然相同.

1.4 最大公因式

如果多项式 $\phi(x)$ 既是 $f(x)$ 的因式, 又是 $g(x)$ 的因式, 那么 $\phi(x)$ 就称为 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的一个公因式. 在公因式中占有特殊重要地位的是最大公因式.

定义 1.6

设 $f(x), g(x)$ 是 $P[x]$ 中两个多项式. $P[x]$ 中多项式 $d(x)$ 称为 $f(x), g(x)$ 的一个最大公因式, 如果它满足下面两个条件:

例如, 对于任意多项式 $f(x)$ , $f(x)$ 就是 $f(x)$ 与 $0$ 的一个最大公因式. 特别地, 根据定义, 两个零多项式的最大公因式就是 $0$ .

在有了以上的定义之后, 我们首先要解决的就是最大公因式的存在问题, 以下的证明也给出了一个具体求法.

最大公因式的存在性的证明主要根据带余除法, 关于带余除法我们指出以下事实:

引理 1.1

如果有等式

f(x)=q(x)g(x)+r(x)

(1)

成立, 那么 $f(x), g(x)$ 和 $g(x), r(x)$ 有相同的公因式.

证明

如果 $\phi(x)\mid g(x), \phi(x)\mid r(x)$ , 那么由1, $\phi(x)\mid f(x)$ . 这就是说, $g(x), r(x)$ 的公因式全是 $f(x), g(x)$ 的公因式. 反过来, 如果 $\phi(x)\mid f(x), \phi(x)\mid g(x)$ , 那么 $\phi(x)$ 一定整除它们的组合

r(x)=f(x)-q(x)g(x).

这就是说, $\phi(x)$ 是 $g(x), r(x)$ 的公因式. 由此可见, 如果 $g(x), r(x)$ 有一个最大公因式 $d(x)$ , 那么 $d(x)$ 也就是 $f(x), g(x)$ 的一个最大公因式. $\blacksquare$

定理 1.2

对于 $P[x]$ 中任意两个多项式 $f(x), g(x)$ , 在 $P[x]$ 中存在一个最大公因式 $d(x)$ , 且 $d(x)$ 可以表成 $f(x), g(x)$ 的一个组合, 即有 $P[x]$ 中多项式 $u(x), v(x)$ 使

d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x).

(2)

证明

如果 $f(x), g(x)$ 有一个为零, 譬如说, $g(x)=0$ , 那么 $f(x)$ 就是一个最大公因式, 且

f(x)=1\cdot f(x)+1\cdot0.

下面来看一般的情形. 无妨设 $g(x)\neq0$ . 按带余除法, 用 $g(x)$ 除 $f(x)$ , 得到商 $q_1(x)$ , 余式 $r_1(x)$ ; 如果 $r_1(x)\neq0$ , 就再用 $r_1(x)$ 除 $g(x)$ , 得到商 $q_2(x)$ , 余式 $r_2(x)$ ; 又如果 $r_2(x)\neq0$ , 就用 $r_2(x)$ 除 $r_1(x)$ , 得出商 $q_3(x)$ , 余式 $r_3(x)$ ; 如此辗转相除下去, 显然, 所得余式的次数不断降低, 即

\partial{(g(x))}>\partial{(r_1(x))}>\partial{(r_2(x))}>\dots,

因此在有限次之后, 必然有余式为零^[9]. 于是我们有一串等式

\begin{align*} f(x)&=q_1(x)g(x)+r_1(x), \\ g(x)&=q_2(x)r_1(x)+r_2(x), \\ &\dots\dots\dots\dots\\ r_{i-2}(x)&=q_i(x)r_{i-1}(x)+r_i(x), \\ &\dots\dots\dots\dots\\ r_{s-3}(x)&=q_{s-1}(x)r_{s-2}(x)+r_{s-1}(x), \\ r_{s-2}(x)&=q_s(x)r_{s-1}(x)+r_s(x), \\ r_{s-1}(x)&=q_{s+1}(x)r_s(x)+0. \end{align*}

$r_s(x)$ 与 $0$ 的最大公因式是 $r_s(x)$ . 根据前面的说明, $r_s(x)$ 也就是 $r_s(x)$ 与 $r_{s-1}(x)$ 的一个最大公因式; 同样的理由, 逐步推上去, $r_s(x)$ 就是 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的一个最大公因式.

由上面的倒数第二个等式, 我们有

r_s(x)=r_{s-2}(x)-q_s(x)r_{s-1}(x).

再由倒数第三式, $r_{s-1}(x)=r_{r-3}(x)-1_{s-1}(x)$ , 代入上式可消去 $r_{x-1}(x)$ , 得到

r_s(x)=(1+q_s(x)q_{s-1}(x))r_{s-2}(x)-q_s(x)r_{s-3}(x).

然后根据同样的方法用它上面的等式逐个地消去 $r_{s-2}(x), \dots, r_1(x)$ , 再并项就得到

r_s(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x),

这就是定理中的2式. $\blacksquare$

由最大公因式的定义不难看出, 如果 $d_1(x), d_2(x)$ 是 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的两个最大公因式, 那么一定有 $d_1(x)\mid d_2(x)$ 与 $d_2(x)\mid d_1(x)$ , 也就是 $d_1(x)=cd_2(x), c\neq0$ . 这就是说, 两个多项式的最大公因式在可以相差一个非零常数倍的意义下是唯一确定的. 我们知道, 两个不全为零的多项式的最大公因式总是一个非零多项式. 在这个情形, 我们约定, 用

(f(x),g(x))

来表示首项系数是 $1$ 的那个最大公因式.

定理证明中用来求最大公因式的方法通常称为辗转相除法.

例 1.4

设

f(x)=x^4+3x^3-x^2-4x-3, g(x)=3x^3+10x^2+2x-3,

求 $(f(x),g(x))$ , 并求 $u(x), v(x)$ 使

(f(x),g(x))=u(x)f(x)+v(x)g(x).

辗转相除法可按下面的格式来做:

g(x)

f(x)

q_2(x)=-\frac{27}{5}x+9

3x^3

+

10x^2

+

2x

-

3

x^4

+

3x^3

-

x^2

-

4x

-

3

\frac{1}{3}x-\frac{1}{9}=q_1(x)

3x^3

+

15x^2

+

18x

x^4

+

\frac{10}{3}x^3

+

\frac{2}{3}x^2

-

x

-

5x^2

-

16x

-

3

-

\frac{1}{3}x^3

-

\frac{5}{3}

-

3x

-

3

-

5x^2

-

16x

-

30

-

\frac{1}{3}x^3

-

\frac{10}{9}x^2

-

\frac{2}{9}x

+

\frac{1}{3}

r_2(x)

=

9x

+

27

r_1(x)

=

-

\frac{5}{9}x^2

-

\frac{25}{9}x

-

\frac{10}{3}

-\frac{5}{81}x-\frac{10}{81}=q_3(x)

-

\frac{5}{9}x^2

-

\frac{5}{3}x

-

\frac{10}{9}

-

\frac{10}{3}

-

\frac{10}{9}

-

\frac{10}{3}

0

用等式写出来, 就是

\begin{align*} f(x)=(\frac{1}{3}-\frac{1}{9})g(x)+(-\frac{5}{9}x^2-\frac{25}{9}x-\frac{10}{3}), \\ g(x)=(-\frac{27}{5}x+9)(-\frac{5}{9}x^2-\frac{25}{9}x-\frac{10}{3})+(9x+27), \\ -\frac{5}{9}x^2-\frac{25}{9}x-\frac{10}{3}=(-\frac{5}{81}-\frac{10}{81})(9x+27). \end{align*}

因此

(f(x), g(x))=x+3.

而

\begin{align*} 9x+27&=g(x)-(-\frac{27}{5}x+9)(-\frac{5}{9}x^2-\frac{25}{9}x-\frac{10}{3})\\ &=g(x)-(-\frac{27}{5}x+9)[f(x)-(\frac{1}{3}x-\frac{1}{9})g(x)]\\ &=(\frac{27}{5}-9)f(x)+[1-(\frac{27}{5}x-9)(\frac{1}{3}x-\frac{1}{9})]g(x)\\ &=(\frac{27}{5}-9)f(x)+(-\frac{9}{5}x^2+\frac{18}{5}x)g(x), \end{align*}

于是, 令 $u(x)=\frac{3}{5}-1, v(x)=-\frac{1}{5}x^2+\frac{2}{5}x$ , 就有

(f(x), g(x))=u(x)f(x)+v(x)g(x).

定义 1.7

$P[x]$ 中两个多项式 $f(x), g(x)$ 称为互素(也称互质)的, 如果 $(f(x), g(x))=1$ .

显然, 如果两个多项式互素, 那么它们除去零次多项式外没有其它的公因式, 反之亦然.

定理 1.3

$P[x]$ 中两个多项式 $f(x), g(x)$ 互素的充分必要条件是有 $P[x]$ 中的多项式 $u(x), v(x)$ 使

u(x)f(x)+v(x)g(x)=1.

证明

必要性是定理1.2的直接推论.

现在设有 $u(x), v(x)$ 使

u(x)f(x)+v(x)g(x)=1,

而 $\phi(x)$ 是 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的一个最大公因式. 于是 $\phi(x)\mid f(x), \phi(x)\mid g(x)$ , 从而 $\phi(x)\mid1$ , 即 $f(x), g(x)$ 互素. $\blacksquare$

由此可以证明

定理 1.4

如果 $(f(x), g(x))=1$ , 且 $f(x)\mid g(x)h(x)$ , 那么

f(x)\mid h(x).

证明

由 $(f(x), g(x))=1$ 可知, 有 $u(x), v(x)$ 使

u(x)f(x)+v(x)g(x)=1.

等式两边乘 $h(x)$ , 得

u(x)f(x)h(x)+v(x)g(x)h(x)=h(x),

因为 $f(x)\mid g(x)h(x)$ , 所以 $f(x)$ 整除等式左端, 从而

f(x)\mid h(x). \blacksquare

推论 1.1

如果 $f_1(x)\mid g(x), f_2(x)\mid g(x)$ , 且 $(f_1(x), f_2(x))=1$ , 那么

f_1(x)f_2(x)\mid g(x).

证明

由 $f_1(x)\mid g(x)$ 有

g(x)=f_1(x)h_1(x).

因为 $f_2(x)\mid f_1(x)h_1(x)$ , 且 $(f_1(x), f_2(x))=1$ , 所以根据定理1.4, 有 $f_2(x)\mid h_1(x)$ , 即

h_1(x)=f_2(x)h_2(x),

代入上式即得

g(x)=f_1(x)f_2(x)h_2(x).

这就是说,

f_1(x)f_2(x)\mid g(x). \blacksquare

在上面, 最大公因式与互素的概念, 都是对两个多项式定义的.

事实上, 对于任意多个多项式 $f_1(x), f_2(x), \dots, f_s(x) (s\geq2)$ 也同样可以定义最大公因式. $d(x)$ 称为 $f_1(x), f_2(x), \dots, f_s(x) (s\geq2)$ 的一个最大公因式, 如果 $d(x)$ 具有下面的性质:

我们仍用符号 $(f_1(x), f_2(x), \dots, f_s(x))$ 来表示首项系数为 $1$ 的最大公因式.

不难证明, $f_1(x), f_2(x), \dots, f_s(x)$ 的最大公因式存在, 而且当 $f_1(x), f_2(x), \dots, f_s(x)$ 全不为零时,

(f_1(x), f_2(x), \dots, f_s(x))=((f_1(x), f_2(x), \dots, f_{s-1}(x)), f_s(x))

就是 $f_1(x), f_2(x), \dots, f_s(x)$ 的最大公因式, 即

u_1(x)f_1(x)+u_2(x)f_2(x)+\dots+u_s(x)f_s(x)=(f_1(x), f_2(x), \dots, f_s(x)).

如果 $(f_1(x), f_2(x), \dots, f_s(x))=1$ , 那么 $f_1(x), f_2(x), \dots, f_s(x)$ 就称为互素的. 同样, 有类似定理1.3的结论.

这些证明全留给读者完成(见本章末补充题4).

1.5 因式分解定理

在这一节, 我们讨论多项式的因式分解. 在中学所学代数里我们学过一些具体方法, 把一个多项式分解为不能再分的因式的乘积. 但那里并没有深入地讨论这个问题. 那里所谓不能再分, 常常只是我们自己看不出怎样再分下去的意思, 并没有严格地论证它们确实不可再分. 所谓不能再分的概念, 其实不是绝对的, 而是相对于系数所在的数域而言的. 例如, 在有理数域上, 把 $x^4-4$ 分解为

x^4-4=(x^2-2)(x^2+2)

的形式就不能再分了. 但在数域 $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ (参看§)上, 活更扩大一些, 在实数域上, 就可以进一步分解成

x^4-4=(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})(x^2+2).

而在复数域上, 还可以更进一步分解成

x^4-4=(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2}i)(x+\sqrt{2}i).

由此可见, 必须明确系数域后, 所谓不能再分才有确切的含义.

在下面的讨论中, 仍然选定一个数域 $P$ 作为系数域, 我们考虑数域 $P$ 上的多项式环 $P[x]$ 中多项式的因式分解.

定义 1.8

数域 $P$ 上次数 $\geq1$ 的多项式 $p(x)$ 称为域 $P$ 上的不可约多项式, 如果它不能表成数域 $P$ 上的两个次数比 $p(x)$ 的次数低的多项式的乘积.

按照定义, 一次多项式总是不可约多项式.

正如上面指出的, $x^2+2$ 是实数域上的不可约多项式, 但是它在复数域上可以分解成两个一次多项式的乘积, 因而不是不可约的. 这就说明了, 一个多项式是否不可约是依赖于系数域的.

显然, 不可约多项式 $p(x)$ 的因式只有非零常数和它自身的非零常数倍 $cp(x) (c\neq0)$ 这两种, 此外就没有了. 反过来, 具有这个性质的次数 $\geq1$ 的多项式一定是不可约的. 由此可知, 不可约多项式 $p(x)$ 与任一多项式 $f(x)$ 之间只可能有两种关系, 或者 $p(x)\mid f(x)$ 或者 $(p(x), f(x))=1$ . 事实上, 如果 $(p(x), f(x))=d(x)$ , 那么 $d(x)$ 或者是 $1$ 或者是 $cp(x) (c\neq0)$ . 当 $d(x)=cp(x)$ 时, 就有 $p(x)\mid f(x)$ .

不可约多项式有下述的重要性质.

定理 1.5

如果 $p(x)$ 是一个不可约多项式, 那么对于任意的两个多项式 $f(x), g(x)$ , 由 $p(x)\mid f(x)g(x)$ 一定推出 $p(x)\mid f(x)$ 或者 $p(x)\mid g(x)$ .

证明

如果 $p(x)\mid f(x)$ , 那么结论已经成立.

如果 $p(x)\nmid f(x)$ , 那么由以上说明可知

(p(x), f(x))=1.

于是由定理1.4即得 $p(x)\mid g(x)$ . $\blacksquare$

利用数学归纳法, 这个定理可以推广为: 如果不可约多项式 $p(x)$ 整除一些多项式 $f_1(x), f_2(x), \dots, f_s(x)$ 的乘积 $f_1(x)f_2(x)\dots f_s(x)$ , 那么 $p(x)$ 一定整除这些多项式之中的一个.

下面来证明这一章的主要定理.

定理 1.6

数域 $P$ 上每一个次数 $\geq1$ 的多项式 $f(x)$ 都可以唯一地分解成数域 $P$ 上一些不可约多项式的乘积. 所谓唯一性是说, 如果有两个分解式

f(x)=p_1(x)p_2(x)\dots p_s(x)=q_1(x)q_2(x)\dots q_t(x),

那么必有 $s=t$ , 并且适当排列因式的次序后有

p_i(x)=c_iq_i(x), \;i=1, 2, \dots, s,

其中 $c_i (i=1, 2, \dots, s)$ 是一些非零常数.

证明

先证分解式的存在. 我们对 $f(x)$ 的次数作数学归纳法.

因为一次多项式都是不可约的, 所以 $n=1$ 时结论成立.

设 $\partial{(f(x))}=n$ , 且结论对于次数低于 $n$ 的多项式已经成立.

如果 $f(x)$ 是不可约多项式, 结论是显然的, 无妨设 $f(x)$ 不是不可约的, 即有

f(x)=f_1(x)f_2(x),

其中 $f_1(x), f_2(x)$ 的次数都低于 $n$ . 由归纳假设 $f_1(x)$ 和 $f_2(x)$ 都可以分解成数域 $P$ 上一些不可约多项式的乘积. 把 $f_1(x), f_2(x)$ 的分解式合起来就得到 $f(x)$ 的一个分解式.

由归纳法原理, 结论普遍成立.

再证唯一性. 设 $f(x)$ 可以分解成不可约多项式的乘积

f(x)=p_1(x)p_2(x)\dots p_s(x).

如果 $f(x)$ 还有另一个分解式

f(x)=q_1(x)q_2(x)\dots q_t(x),

其中 $q_i(x) (i=1, 2, \dots, t)$ 都是不可约多项式, 于是

f(x)=p_1(x)p_2(x)\dots p_s(x)=q_1(x)q_2(x)\dots q_t(x).

(1)

我们对 $s$ 作归纳法. 当 $s=1$ , $f(x)$ 是不可约多项式, 由定义必有

s=t=1,

且

f(x)=p_1(x)=q_1(x).

现在设不可约因式的个数为 $s-1$ 时唯一性已证.

由1, $p_1(x)\mid q_1(x)q_2(x)\dots q_t(x)$ , 因此, $p_1(x)$ 必能除尽其中的一个, 无妨设

p_1(x)\mid q_1(x).

因为 $q_1(x)$ 也是不可约多项式, 所以有

p_1(x)=c_1q_1(x).

(2)

在1式两边消去 $q_1(x)$ , 就有

p_2(x)\dots p_s(x)=c_1^{-1}q_2(x)\dots q_t(x).

由归纳假设, 有

s-1=t-1,\;i.e.\,s=t,

(3)

并且适当排列次序之后有

p_2(x)=c_2'c_1^{-1}q_2(x),\;i.e.\,p_2(x)=c_2q_2(x),

p_i(x)=c_iq_i(x),\;i=3, \dots, s.

(4)

2, 3, 4合起来即为所要证的. 这就证明了分解的唯一性. $\blacksquare$

应该指出, 因式分解定理虽然在理论上有其基本重要性, 但是它并没有给出一个具体的分解多项式的方法. 实际上, 对于一般的情形, 普遍可行的分解多项式的方法是不存在的.

在多项式 $f(x)$ 的分解式中, 可以把每一个不可约因式的首项系数提出来, 使它们成为首项系数为 $1$ 的多项式, 再把相同的不可约因式合并. 于是 $f(x)$ 的分解式成为

f(x)=cp_1^{r_1}(x)p_2^{r_2}(x)\dots p_s^{r_s}(x),

其中 $c$ 是 $f(x)$ 的首项系数, $p_1(x), p_2(x), \dots, p_s(x)$ 是不同的首项系数为 $1$ 的不可约多项式, 而 $r_1, r_2, \dots, r_s$ 是正整数. 这种分解式称为标准分解式.

如果已经有了两个多项式的标准分解式, 我们就可以直接写出两个多项式的最大公因式. 多项式 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的最大公因式 $d(x)$ 就是那些同时在 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的标准分解式中出现的不可约多项式方幂的乘积, 所带的方幂的指数等于它在 $f(x)$ 与 $g(x)$ 中所带的方幂中较小的一个.

由以上讨论可以看出, 带余除法是一元多项式因式分解理论的基础. 我们知道, 整数也有带余除法, 即

对于任意整数 $a, b (b\neq0)$ , 都存在唯一的整数 $q, r$ , 使

a=qb+r,

其中 $0\leq r<\lvert b\rvert$ .

整数的因式分解理论能够类似地得出, 读者可以参考附录二进行自学.

1.6 重因式

[整理者注] 这里实际上涉及到了运算的封闭性的概念. 本书中后续有阐述.
[整理者注] 例如有理数对四则运算封闭, 而整数对除法不封闭; 再如 $x^2+1=0$ 在实数范围内无解, 在复数范围内有解.
[整理者注] 原书此处定义所有文字均有下加点强调. 为整理方便, 此处及后续不再以此种方式强调.
[整理者注] $a+b\sqrt{2}=0$ 要求 $a$ , $b$ 同时为 $0$ .
[整理者注] 事实上, 零多项式的次数亦可赋予定义, 取决于需要使用时如何处理方便. 常用的可以定义为 $\infty, -\infty, -1$ 等.
因为零多项式不定义次数, 所以在用符号 $\partial{(f(x))}$ 时, 总是假定 $f(x)\neq0$ . 以后就不一一说明了.
[整理者注] 即 $\sum$ .
$\max(n, m)$ 表示 $n, m$ 中较大的一个数.
[整理者注] 此处其实有些跳跃. 按如此推论, 我们总是可以辗转相除得到零次多项式而非零多项式; 不过, 在得到零次多项式之后再辗转相除一次, 则可以得到零多项式. 证略.

ハナアサギの

花園。

多项式

1 多项式

1.1 数域

1.2 一元多项式

1.3 整除的概念

1.4 最大公因式

1.5 因式分解定理

1.6 重因式